Проще всего запомнить дробь 355/113.
Берем три нечетных цифры и пишем их по два раза: 11 33 55.
Делим на две тройки, и ставим первую тройку в числитель, а вторую знаменатель: 355/113.
Результат равен 3,1415929, а точное число Пи равно 3,1415926. Погрешность в 0,0000003 (0,00001 %) вас устроит?
Если нужно побольше знаков, то достаточно запомнить стишок: "Это я знаю и помню прекрасно: пи многие знаки мне лишни, напрасны". Число букв в каждом слове этого короткого стишка соответствует цифре в числе пи. Таки образом, получается 3,14159265358. Точность колоссальная, которая в реальной жизни никогда, никому и нигде не понадобится. В этом еще один смысл этого остроумного стишка. Кстати, такие стихотворения, причем намного более длинные, есть в английском, немецком, французском и других языках. Иногда они очень забавные. Например (в английском) в переводе будет что-то вроде "как же хочется выпить глоток виски после сдачи трудного экзамена по квантовой механике". Есть и значительно более длинные, целые поэмы!
В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.
Количество источников, использованных в этой статье: 7. Вы найдете их список внизу страницы.
Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.
Пи (π) — одно из самых важных и интригующих чисел в математике. Эта константа, примерно равная 3,14, используется для вычисления длины окружности с учетом ее радиуса. [1] Это также иррациональное число, то есть оно может быть вычислено до бесконечного числа знаков после запятой. [2] Это не так-то просто сделать, но все-таки возможно.
Проведите эксперимент. Оказывается, Пи можно найти, проведя интересный эксперимент под названием метод иглы Буффона, [6] который стремится определить вероятность того, что случайно брошенные иглы приземлятся либо между нарисованными равноудаленными параллельными прямыми, либо пересекут ровно одну прямую. Если расстояние между прямыми равно длине иглы, то отношение числа бросков, когда игла пересекает прямую, к общему числу бросков стремится к 2/Пи. Также можете попробовать провести эксперимент с хот-догами (перейдите по ссылке в начале шага).
-
Ученые и математики не могут определить точный способ вычисления Пи, так как они не могут найти настолько тонкий предмет, чтобы вычисления были точными. [7]
Самый простой и легкий в реализации метод.
Рассмотрим произвольный квадрат с центром в начале координат и вписанный в него круг. Будем рассматривать только первую координатную четверть. В ней будет находиться четверть круга и четверть квадрата. Обозначим радиус круга r, тогда четверть квадрата тоже будет квадратом(очевидно) со стороной r.
Будем случайным образом выбирать точки в этом квадрате и считать количество точек, попавших в четверть круга. Благодаря теории вероятности мы знаем, что отношение попаданий в четверть круга к попаданиям ‘в молоко’ равно отношению площадей — пи/4. Вот, собственно, и весь алгоритм. Чем больше взятых наугад точек мы проверим, тем точнее будет отношение площадей.
Вот простенькая программа на Паскале, считающая пи этим способом. Четыре первых знака требуют на моем PentiumII-300 около 5 минут.
Школьный алгоритм вычисления Пи
Этот результат позволил Лейбницу получить очень простое выражение для PI, а именно:
или, после умножения на 4:
Просуммируйте этот ряд и Вы получите число PI.
Однако, как говорил Козьма Прутков, ‘нельзя объять необъятное’, что, в применении к данному случаю, можно перефразировать так: нельзя просуммировать бесконечное число слагаемых за конечное время, каким бы быстрым компьютером мы не располагали.
Слава Богу, этого и не требуется. Поскольку мы хотим найти не точное значение PI, а лишь его приближение с пятью верными десятичными знаками, нам достаточно просуммировать такое количество первых членов ряда, чтобы сумма всех оставшихся членов не превышала 10 -5 .
Остался, правда, открытым вопрос о том, сколько же все-таки членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с требуемой точностью?
Ответ на этот вопрос в ‘общем виде’ выходит далеко за рамки настоящего обсуждения. Это отдельная тема в курсах математического анализа и численных методов.
К счастью, данный конкретный ряд позволяет найти очень простое правило, позволяющее определить момент, когда следует прекратить суммирование. Дело в том, что ряд Грегори является знакопеременным и сходится равномерно (хотя и медленнее, чем хотелось бы). Это означает, что для любого нечетного n , сумма первых n членов ряда всегда дает верхнюю оценку для PI, а сумма n +1 первых членов ряда — нижнюю.
Значит, как только разница между верхней и нижней оценками окажется меньше, чем требуемая точность, можно смело прекращать вычисления и быть уверенным, что как та, так и другая оценки отличаются от истинного значения PI не более, чем на 10 -5 . В качестве окончательного результата разумно взять среднее значение между полученными верхней и нижней оценками. Таким образом, можно предложить алгоритм, приведенный ниже.
При реализации этого алгоритма на машине следует помнить, что ряд Грегори сходится достаточно медленно, и поэтому n может принимать довольно большие значения.
Более серьезный подход
Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:
| p | = 12arctan | 1 | + 8arctan | 1 | — 5arctan | 1 |
| 4 | 18 | 57 | 239 |
Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.
Исходник программы, включающий в себя ‘длинную арифметику’
Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x — x 3 /3 + x 5 /5 — . x=1/p, значит arccot(x) = 1/p — 1 / p 3 / 3 + . Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.
Конечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи. Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.